流体の運動方程式（レベル3）：ナビエ・ストークスの方程式の導出 part2〜粘性応力の性質と導出〜
https://www.youtube.com/watch?v=6z91szFqyho
内容
変形の種類
滑りなしの条件により、水路床及び板に接する流体粒子の相対速度は0になる https://kakeru.app/219af3593c741a6b9da0582ede47f755 https://i.kakeru.app/219af3593c741a6b9da0582ede47f755.svg
https://kakeru.app/989917c068b89ec3806cf62b2ef8dffa https://i.kakeru.app/989917c068b89ec3806cf62b2ef8dffa.svg
https://kakeru.app/a061c83b4abf685880cc89e324594ae8 https://i.kakeru.app/a061c83b4abf685880cc89e324594ae8.svg
これを除く方法
(動画の方法)対角線がズレない変形を考える
https://kakeru.app/98f09a771b0f8209bbb2eecc5663b671 https://i.kakeru.app/98f09a771b0f8209bbb2eecc5663b671.svg
3次元場の粘性応力の記述
微小立方体による考察
それとも、そのモデルでもどこかで同じ性質をつかっている？
粘性応力のtensorは対称tensorになる
$ \pmb{\sigma}:=\mu(\pmb\nabla\pmb{v}^\top+\pmb\nabla\pmb{v})
動画のテンソルは$ \pmb{\sigma}^\topであることに注意
積分形
検査領域$ Vに働く粘性応力を求めればいい
$ \int_{\partial V}\pmb{\sigma}\mathrm{d}\cdot\pmb{S}=\int_V\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma\mathrm{d}V
$ =\mu\int_V(\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+\pmb{\nabla}^2\pmb{v})\mathrm{d}V
$ =\mu\int_V\pmb{\nabla}^2\pmb{v}\mathrm{d}V
非圧縮性流れなので、$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{v}=0 これは動画で説明されていない
おそらくわざと。自力で解かせるという意図なのだろう
$ \underline{\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{v}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P+\mu\pmb{\nabla}^2\pmb{v}\quad}_\blacksquare
微分形
動画の方法
https://kakeru.app/f9f3de854adaa13e0db7e18e26fb1f94 https://i.kakeru.app/f9f3de854adaa13e0db7e18e26fb1f94.svg
(x,y方向のみ図示した)
微小直方体$ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z(=:\mathrm{d}V)に働く応力vector$ \mathrm{d}\pmb Tの合計を求める
$ \def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\mathrm{d}}\begin{aligned}\d\pmb{T}=&\\&\pmb{\sigma}(-\d y\d z\pmb{e}_x)+\left(\pmb{\sigma}+\pdv{\pmb{\sigma}}{x}\d x\right)\d y\d z\pmb{e}_x\\+&\pmb{\sigma}(-\d z\d x\pmb{e}_y)+\left(\pmb{\sigma}+\pdv{\pmb{\sigma}}{y}\d y\right)\d z\d x\pmb{e}_y\\+&\pmb{\sigma}(-\d x\d y\pmb{e}_z)+\left(\pmb{\sigma}+\pdv{\pmb{\sigma}}{z}\d z\right)\d x\d y\pmb{e}_z\end{aligned}
$ =\sum_i\frac{\partial\pmb{\sigma}}{\partial i}\mathrm{d}V\pmb{e}_i
$ =\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma\mathrm{d}V
あとの展開は積分形と同じ
圧縮性流れのときの方程式も導きたいtakker.icon